目录

1.学习目标2.递归2.1递归的基本概念2.2递归的重要性2.3递归三原则2.4递归的应用3.递归示例3.1列表求和3.2汉诺塔(Towers of Hanoi)问题

1.学习目标

递归函数是直接调用自己或通过一系列语句间接调用自己的函数。递归在程序设计有着举足轻重的作用，在很多情况下，借助递归可以优雅的解决问题。本节主要介绍递归的基本概念以及如何构建递归程序。

通过本节学习，应掌握以下内容：

理解递归的基本概念，了解递归背后蕴含的编程思想

掌握构建递归程序的方法

2.递归

2.1递归的基本概念

递归是一种解决问题的方法，它将问题不断的分为更小的子问题，通过处理普通的子问题来解决问题。递归函数是直接调用自己或通过一系列语句间接调用自己的函数。需要注意的是，递归函数每次调用自己时，都会将原问题进行简化，最终较小问题的序列必须收敛于基本情况，解决问题，终止递归。利用递归可以非常优雅的解决一些复杂问题。很多数学函数就是递归定义的，比如使用递归定义的阶乘函数：

尽管这个定义是递归的，但它不是无限循环无法终止的。事实上，利用此函数可以非常简单的计算阶乘。例如计算3!，根据定义，有3!=3(3–1)!=3(2!)，接下来我们需要解决2!，再次应用定义 3! = 4(2!) = 3[(2)(2−1)!] = 3(2)(1!)，继续此过程，最后我们需要计算0!，而根据定义0!=1，计算过程就结束了：

3!=3(2!)=3(2)(1!)=3(2)(1)(0!)=3(2)(1)(1)=6

可以看到，递归定义并非是无限循环的，因为每次应用定义，程序都会将问题分解为更简单的子问题，在阶乘函数示例中，即为计算较小数的阶乘，直到计算0!，这不需要再次应用递归即可求解。当递归到底时，我们得到一个可以直接计算的闭合表达式，也被称为递归的“基本情况”。而函数调用自身来执行子任务时，被称为“递归情况”。

2.2递归的重要性

递归函数是从数学中借鉴的一种重要的编程技术，通常使用递归可以极大的降低代码量，在许多可以分解为子问题的任务中非常有用，例如，排序、遍历和搜索等通常可以借助递归方法快速的给出解决方案。

2.3递归三原则

和许多算法一样，递归同样有着需要遵守的重要原则，称为递归三原则：

递归算法必须有基本情况递归算法必须改变状态并逐渐收敛于基本情况递归算法必须包含递归情况，能够递归的调用自身

需要注意的是，递归的核心思想并不是循环，而是将问题分解成更小、更容易解决的子问题。

2.4递归的应用

递归在程序设计中有着十分重要的作用，以下是一些常用到递归的实际场景：

斐波那契数列、阶乘计算等数学问题归并排序、快速排序二分查找树和图的遍历以及相关问题汉诺塔

3.递归示例

本节中，我们将从简单的列表求和问题入手，了解递归算法的使用方式，然后再了解如何解决经典递归问题——汉诺塔。

3.1列表求和

列表求和是十分简单的问题，用来了解递归算法的思想再合适不过了。例如我们需要计算列表 [1, 2, 3, 4, 5] 的和，如果利用循环函数计算，则可以编写如下代码计算列表中所有数之和：

def sum_list(list_data):
    result = 0
    for i in range(list_data):
        result += i
    return result

如果不使用循环，我们该如何解决这一问题呢？我们可以写出求和过程((((1+2)+3)+4)+5)，而根据加法交换律，计算过程也可以写为(1+(2+(3+(4+5))))，这时我们就可以很清楚的看到，列表的数据总和等于列表第一个元素加上其余元素：

使用 python 实现以上等式如下：

def sum_list(list_data):
    if len(num_list) == 1:
        return list_data[0]
    else:
        return list_data[0] + sum_list(list_data[1:])

在代码中，首先给出了函数退出的条件，这就是递归函数的基本情况，在示例中就是说，长度为 1 的列表，其元素和就是列表中的数。不满足退出条件，sum_list 则会调用自己，这就是递归函数的递归情况，也是其称为递归函数的原因。

在下图(a)中，可以看到求解 [1, 2, 3, 4, 5] 时的递归调用过程，每次递归调用都是在解决一个更接近基本情况的问题，直到问题不能被进一步简化。

当问题无法简化时，开始拼接所有子问题的解，下图(b)展示递归函数 sum_list 在返回一系列调用结果时所进行的加法操作，当返回到顶层时，就解决了最初的问题。

3.2汉诺塔(Towers of Hanoi)问题

汉诺塔(Towers of Hanoi)是一道十分经典的谜题。它由三个塔和许多不同尺寸的圆盘组成，这些圆盘可以移动到任何杆上。开始时圆盘按尺寸升序排列在一个塔上，顶部的圆盘最小，底部圆盘最大。谜题的目标是将叠好的圆盘移动到另一个杆，且满足以下规则：

一次只能移动一个圆盘较大圆盘不能放在较小的圆盘上

接下来我们讲解如何借助一根中间塔 Auxiliary，将高度为 n 的一叠圆盘从起始塔 Source 移到终点塔 Destination：

借助终点塔 Destination，将顶部的 n - 1 个圆盘从 Source 移动到 Auxiliary将第 n 个圆盘从 Source 塔移动到终点塔 Destination借助 Source 塔，将 n - 1 个磁盘从辅助塔 Auxiliary 移动到终点塔 Destination

只要遵循汉诺塔的移动规则，就可以递归地执行上述步骤。最简单的汉诺塔是只有一个盘子，在这种情况下，只需将这个盘子移到终点柱子 Destination 即可，这就是基本情况。上述递归步骤通过逐渐减小高度 n 来向基本情况靠近，如下图所示：

算法的关键在于进行两次递归调用，第一次递归是将除了最后一个圆盘以外的其他所有圆盘从 Source 塔移到辅助塔 Auxiliary 。然后将最后一个圆盘移到终点塔 Destination。第二次递归是将圆盘从 Auxiliary 移到 Destination：

def towersOfHanoi(number, source=1, destination=3, auxiliary=2):
    if number >= 1:
        towersOfHanoi (number - 1, source, auxiliary, destination)
        print("Move disk %d from tower %d to tower %d" % (number, source, destination))
        towersOfHanoi (number - 1, auxiliary, destination, source)
towersOfHanoi(number=3)

程序输出如下所示：

Move disk 1 from tower 1 to tower 3
Move disk 2 from tower 1 to tower 2
Move disk 1 from tower 3 to tower 2
Move disk 3 from tower 1 to tower 3
Move disk 1 from tower 2 to tower 1
Move disk 2 from tower 2 to tower 3
Move disk 1 from tower 1 to tower 3

以上就是Python数据结构之递归方法详解的详细内容，更多关于Python 数据结构递归的资料请关注脚本之家其它相关文章！

关键词： 递归函数 递归算法 基本概念 解决问题