Python+PuLP实现线性规划的求解

来源：脚本之家时间：2022-04-27 09:56:48

1.PuLP 库的安装

如果您使用的是 Anaconda的话（事实上我也更推荐这样做），需要先激活你想要安装的虚拟环境，之后在 Prompt 输入

pip install pulp

不出意外的话等一会就安装完毕。

2.线性规划简介

想必大家能点开这篇文章一定都知道线性规划是什么意思吧……那么我用两个例子再简单说一下。

2.1 线性规划

2.1.1 题目描述

若变量x,y满足约束条件：

求z=3x+y的最大值。

2.1.2 基本概念

首先，我们要认清在这道题中，x和y是可以变的，所以把它们叫做决策变量。三个不等式叫做约束条件，即x和y必须同时满足这三个不等式。我们若画出图来：

其中不满足约束条件的区域被我标上了颜色，所以x,y可以取得值只能在纯白区域内，这一片区域称作可行域。

再看最后的我们的目标：求z=x+3y的最大值。

于是z=x+3y就被称作目标函数，我们的工作就是求这个目标函数的最大值。

整个问题描述为：

然后怎么算？别急我们再看一个例子。

2.2 整数规划

2.2.1 题目描述

汽车厂生产小、中、大三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求以及利润如下表所示。要求每月的钢材消耗不超过 600 t，总劳动时间不超过 60 000 h。试指定生产计划使得工厂每月的利润最大。

小型车	中型车	大型车
钢材 / t	1.5	3	5
劳动时间 / h	280	250	400
利润 / 万元	2	3	4

2.2.2 解题思路

首先，设三个决策变量，用x1,x2,x3分别表示生产小型车、中型车、大型车的数量，但是注意要满足：

车的数量只能是整数；车的数量大于等于 0。

其他约束条件看题直接列：

最后写出目标函数：

z=2x₁+3x₂+4x₃

综合起来整个问题描述为：

另外可以看出这个题由于涉及到三个决策变量，可行域是相当抽象的，这里就不画了 hhh~

3.求解过程

首先在最前面引入所需的pulp工具库：

import pulp as pl

这句话是引入pulp库并简写为pl，一个 python 库只有在开始import了之后才能在后面使用。这样后面凡是用到pulp的功能都要写成pl.xxx。

接下来是以下几个步骤：

定义模型定义决策变量添加约束条件添加目标函数模型求解打印结果

3.1 定义模型

# Define the model
model = pl.LpProblem(name="My-Model", sense=pl.LpMaximize)

这个操作是使用pl.LpProblem创建了一个模型并赋值给变量model，接收两个参数：

name：模型的名字，随便起一个；sense：模型的类型，pl.LpMinimize是求目标函数的最小值，pl.LpMaximize是求最大值

3.2 定义决策变量

# Define the decision variables
x = pl.LpVariable(name="x")
y = pl.LpVariable(name="y")

如果你的变量比较少的话可以简单这么写。这个意思是定义了两个浮点数变量，取值范围是整个实数域。注意等号左边的变量才是你在之后的计算式中使用的符号，而参数name只有在最后打印结果的时候才会被打印出来。另外如果你对变量有其他要求的话可以添加以下参数：

lowBound：变量的最小取值（不写的话默认负无穷）；upBound：变量的最大取值（默认正无穷）；cat：变量的类型，有pl.Binary逻辑变量、pl.Integer整数、pl.Continuous实数（默认值）；

如果你的变量比较多而不得不用 1, 2, 3…… 来编号，可以采用类似这样的写法：

# Define the decision variables
x = {i: pl.LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0, cat=pl.LpInteger) for i in range(1, 9)}

这是一次定义 8 个变量并保存在一个类似数组的结构中，变量都是正整数，分别用x[1],x[2], ...,x[8]表示，依次命名为 x1, x2,..., x8。

注意range(left, right)表示的区间是左闭右开。

3.3 添加约束条件

# Add constraints
model += (2 * x + 3 * y - 6 >= 0, "constrain_1")
model += (x + 3 * y - 3 == 0, "constrain_2")

没错！如你所见就是这么简单，括号里第一个变量就是你的约束不等式或等式，第二个变量是你的自定义的约束名（可以起一个有意义的名字，当然也可以省略）。

由于一些比较数学的原因，约束条件里是不能使用大于号“>”或小于号“<”的。

如果你像前面一样把变量定义在了数组中，那么可以直接用方括号调用：

model += (2 * x[1] + 3 * x[2] - 6 >= 0)

3.4 添加目标函数

# Set the objective
model += x + 3 * y

与前面添加约束条件不同，添加目标函数这一步不用加最外层的括号。

3.5 模型求解

# Solve the optimization problem
status = model.solve()

就写这一句话，调用model的solve()方法，并把结果保存在status中。

3.6 打印结果

# Get the results
print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus[model.status]}")
print(f"objective: {model.objective.value()}")

for var in model.variables():
    print(f"{var.name}: {var.value()}")

for name, constraint in model.constraints.items():
    print(f"{name}: {constraint.value()}")

然后你就能看到模型求解的结果了。

4.示例代码

4.1 高考题代码

首先解决一下 3.1 的高考题：

import pulp as pl

# 定义一个模型，命名为 "Model_3.1"，求最大值
model = pl.LpProblem(name="Model_3.1", sense=pl.LpMaximize)

# 定义两个决策变量，取值为整个实数域
x = pl.LpVariable(name="x")
y = pl.LpVariable(name="y")

# 添加三个约束条件
model += (2 * x + 3 * y - 6 >= 0)
model += (x + y - 3 <= 0)
model += (y - 2 <= 0)

# 目标函数
model += x + 3 * y

# 求解
status = model.solve()

# 打印结果
print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus[model.status]}")
print(f"objective: {model.objective.value()}")

for var in model.variables():
    print(f"{var.name}: {var.value()}")

for name, constraint in model.constraints.items():
    print(f"{name}: {constraint.value()}")

查看结果的最后几行：

status: 1, Optimal
objective: 7.0
x: 1.0
y: 2.0
_C1: 2.0
_C2: 0.0
_C3: 0.0

最大值是7.0，在x=1.0,y=2.0时取到。

4.2 汽车厂代码

import pulp as pl

# 定义一个模型，命名为 "Model_3.2"，求最大值
model = pl.LpProblem(name="Model_3.2", sense=pl.LpMaximize)

# 定义三个决策变量，取值正整数
x = {i: pl.LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0, cat=pl.LpInteger) for i in range(1, 4)}

# 添加约束条件
model += (1.5 * x[1] + 3 * x[2] + 5 * x[3] <= 600)
model += (280 * x[1] + 250 * x[2] + 400 * x[3] <= 60000)

# 目标函数
model += 2 * x[1] + 3 * x[2] + 4 * x[3]

# 求解
status = model.solve()

# 打印结果
print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus[model.status]}")
print(f"objective: {model.objective.value()}")

for var in model.variables():
    print(f"{var.name}: {var.value()}")

for name, constraint in model.constraints.items():
    print(f"{name}: {constraint.value()}")

查看结果的最后几行：